Экстремальная алгебра. Видеокурс
Данный курс — про экстремальные задачи; так в математике называют задачи на поиск наибольших или наименьших значений каких-либо величин. Сюда относится шестая задача ДВИ МГУ, которая вызывает значительные трудности у абитуриентов ввиду своей нестандартности. Сюда же относятся многочисленные олимпиадные задачи, связанные с доказательством или использованием различных неравенств.
Данный курс в комбинации с курсом Экстремальная тригонометрия даёт полную подготовку к ДВИ МГУ по теме экстремальных задач (то есть к шестой задаче современных вариантов ДВИ).
Курс Экстремальная алгебра состоит из четырёх занятий: Квадратичные неравенства, Неравенство Коши, Неравенство КБШ и лемма Титу и Минимаксные задачи в алгебре. Каждое занятие длится (примерно) 120 минут.
Стоимость каждого занятия по отдельности равна 2000 рублей. При покупке полного курса (из четырёх занятий) делаем скидку: цена составит 7000 рублей.
| Полный курс | Купить за 7000 ₽ |
| Квадратичные неравенства | Купить за 2000 ₽ |
| Неравенство Коши | Купить за 2000 ₽ |
| Неравенство КБШ и лемма Титу | Купить за 2000 ₽ |
| Минимаксные задачи в алгебре | Купить за 2000 ₽ |
Кнопки оплаты ведут на платёжные страницы образовательной платформы «Антитренинги» (которая обеспечивает мне инфраструктуру для взаимодействия с вами). После первой оплаты на ваш email придёт ссылка для регистрации на данной платформе (поэтому будьте внимательны и вводите свой email без ошибок). После регистрации у вас появится личный кабинет на «Антитренингах».
Именно там, в личном кабинете «Антитренингов» (в уроке «Видеозапись и файлы решений») вы найдёте:
- видеозапись занятия;
- pdf-файлы решений задач, разобранных мною на занятии; иными словами — то, что я писал своей рукой в ходе занятия;
- чат, в котором можно будет обсудить со мной остальные задачи листка, оставшиеся вам для самостоятельного решения.
Ниже — описание каждого занятия.
Занятие 1. Квадратичные неравенства
Занятие посвящено задачам, в которых используется стандартный приём выделения полного квадрата, а также применяются два хорошо известных неравенства. У этих неравенств нет общепринятых названий; мы называем их первое замечательное неравенство и второе замечательное неравенство. Они встречаются постоянно, на них строится множество более трудных задач, поэтому оба этих неравенства надо твёрдо знать и научиться видеть их в задаче «издалека».
Цель занятия — натренировать метод выделения полного квадрата, освоить два ключевых неравенства и убедиться в том, что владение этими вещами открывает путь к сложным задачам ДВИ МГУ и различных олимпиад.
Вот листок с задачами для занятия.
Первый раздел «Трюки с полными квадратами» содержит задачи, в которых не нужно знать ничего специального. Они требуют лишь изобретательности: надо просто догадаться, в каком направлении следует действовать и как именно выделить полный квадрат. Однако увидеть путь решения зачастую бывает не очень просто! Нам встретятся задачи весьма высокого уровня, которые предлагались на ДВИ, на регионе ВсОШ, на Турнире городов. Мне тут особенно нравится задача номер 6 (с зонального этапа ВсОШ-1993) — она допускает не менее шести способов решения!
Второй раздел составляют задачи, основанные на первом замечательном неравенстве. Оно совсем простое, но тем не менее на нём основано отнюдь не простая задача 11, предлагавшаяся на олимпиаде «Покори Воробьёвы горы!».
Третий раздел посвящён второму замечательному неравенству. Оно вытекает из первого замечательного неравенства и лежит в основе большого количества задач; мы увидим тут и ДВИ, и различные олимпиады вплоть до Московской математической и Всероссийской.
В четвёртом разделе «Дополнительные задачи» собраны задачи для самостоятельного решения. Их можно обсуждать в чате «Антитренингов»!
Фрагмент занятия «Квадратичные неравенства»
Задача ДВИ-2023 (плюс файл решения) — показываем последовательное применение второго и первого замечательного неравенства!
Встроенное видео не отображается? Тогда сюда.
Занятие 2. Неравенство Коши
Неравенством Коши часто называют неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. Занятие посвящено задачам, которые решаются с помощью неравенства Коши; это шестые задачи вариантов ДВИ МГУ, а также различные олимпиадные задачи.
Цель занятия — научиться работать с неравенством Коши в различных ситуациях и получить в руки мощное средство «пробивания» ДВИшных и олимпиадных задач.
Вот листок с задачами для занятия.
В первом разделе листка собраны задачи, в которых изначально всё подготовлено для применения неравенства Коши. Никаких ухищрений, трюков и находок не требуется: надо просто взять и применить неравенство. На ДВИ или олимпиаде в подобной задаче может возникнуть лишь одна проблема — догадаться, что задача именно про неравенство Коши, а не про что-то иное 😊
Второй раздел посвящён задачам, в которых обыгрывается хорошо известная ситуация: сумма двух взаимно-обратных величин по модулю не меньше двойки. Обсуждаем симпатичный трюк (замена знаменателя), который используем при решении одной задачи ДВИ и для доказательства хорошо известного неравенства Несбитта. Это неравенство, кстати, надо знать обязательно: оно возникло однажды на олимпиаде «Шаг в будущее», и кто знает, где и когда появится снова. У неравенства Несбитта много разных доказательств! Мы вернёмся к нему на третьем занятии (про КБШ-Титу) и докажем его ещё двумя способами.
Третий раздел — всего пара задач: известное неравенство с радикалами и его применение в задаче ДВИ.
Среднее арифметическое аппроксимируется снизу средним геометрическим, а сверху — средним квадратичным. Бывают ситуации, когда оба неравенства работают одновременно! Смотрим на эту тему пару задач четвёртого раздела.
Пятый раздел — это задачи, в которых добиться нужного результата позволяет «расщепление» слагаемых (типа 2 = 1 + 1) и последующее применение неравенства Коши к расщеплённой сумме. Какое слагаемое следует расщепить и как именно? Рецептов нет — надо интуитивно почувствовать. Будем тренироваться и развивать интуицию!
Шестой раздел «Дополнительные задачи» — решаем самостоятельно.
Фрагмент занятия «Неравенство Коши»
Задача ДВИ-2023 (плюс файл решения) — даём решение, альтернативное авторскому! Наблюдаем совместную работу двух неравенств между средними: геометрическим, арифметическим и квадратичным.
Встроенное видео не отображается? Тогда сюда.
Занятие 3. Неравенство КБШ и лемма Титу
Модуль скалярного произведения векторов не превосходит произведения их длин — вот простая суть неравенства КБШ (Коши — Буняковского — Шварца). Неравенство КБШ наряду с неравенством Коши служит отличным инструментом работы со многими экстремальными задачами.
Следствием неравенства КБШ является могучая лемма Титу (также называемая неравенством КБШ для дробей). Просто удивительно, как с её помощью мгновенно взламываются некоторые задачи ДВИ!
Цель занятия — овладеть связкой КБШ + Титу и тем самым получить новое оружие, направленное на сложные задачи ДВИ и различных олимпиад.
Вот листок с задачами для занятия.
В англоязычной литературе лемма Титу широко известна в качестве инструмента для доказательства неравенств. В наших пособиях её также можно найти (например, задача 10.50 задачника Алфутовой и Устинова). Но всё же c точки зрения российской практики лемму Титу нельзя признать общеупотребительной; в самом деле, если бы все её хорошо знали, то на ДВИ не появлялись бы задачи вроде 12 и 13, которые с её помощью решаются в лоб в пару строк (при том, что официальные решения содержат хитроумные манипуляции с неравенством Коши). Как это выглядит «в лоб в пару строк»? Посмотрим на занятии 😊
Ну а вишенка на торте — это задача 19 с Международной математической олимпиады. Парой строк тут уже не обойдёшься, но тем не менее лемма Титу во всей красе демонстрирует свою мощь!
Фрагмент занятия «Неравенство КБШ и лемма Титу»
Задача ДВИ-2023 (плюс файл решения) — даём два способа решения, альтернативных официальному 😊
Встроенное видео не отображается? Тогда сюда.
Занятие 4. Минимаксные задачи в алгебре
Эта популярная тема из года в год возникает на олимпиадах и ДВИ. То и дело появляется уравнение или неравенство некоего «страшного» вида, и с ходу непонятно, как тут вообще действовать. Таких «страшных» разновидностей бывает обычно три:
- одно уравнение с двумя неизвестными,
- система двух уравнений с тремя неизвестными,
- уравнение с нагромождением радикалов и/или модулей.
Но пугаться не нужно! Если видим нечто подобное, то начинаем думать в направлении оценок различных выражений из нашей задачи. Пусть, например, в уравнении A = B удаётся показать, что всегда выполнено A ≥ 5 и одновременно B ≤ 5. Тогда в нашем уравнении равенство может достигаться в том единственном случае, когда А = 5 и B = 5 одновременно. Вот и всё! Получили систему двух уравнений, которая легко решается.
В данном случае число 5 оказалось минимумом для А и максимумом для В. Вот почему мы называем такие задачи минимаксными.
Цель занятия — научиться методам решения ДВИшных и олимпиадных минимаксных задач.
Вот листок с задачами для занятия.
На занятии мы обсудим три главных идеи минимаксных задач в алгебре.
- Выделение полного квадрата. Рассмотрим уравнения, в которых работает идея вроде 3 + A^2 ≥ 3.
- Неравенство Коши. Ну куда же без него 😊
- Если видим несколько модулей и/или сложные выражения под модулем, то используем неравенства |A| + |B| ≥ |A + B| ≥ A + B.
Фрагмент занятия «Минимаксные задачи в алгебре»
МГУ, «гроб» психфака-2002 (плюс файл решения) — пробиваем!
Встроенное видео не отображается? Тогда сюда.