Вебинары по математике и физике

Содержание страницы:

Олимпиадная комбинаторика: от правил подсчёта до формулы Бернсайда

Комбинаторика начинается с простого вопроса «сколько способов?», но очень быстро превращается в искусство увидеть структуру задачи и понять, что именно и каким способом нужно считать. В этом курсе мы пройдём путь от правил суммы и произведения, перестановок и сочетаний до рекурсий, симметрий, орбит и формулы Бернсайда.

По дороге комбинаторика будет постоянно встречаться с теорией чисел. Функции делителей возникнут из разложения на простые множители, функция Эйлера — из формулы включений и исключений, а малую теорему Ферма мы дважды получим совершенно комбинаторными способами: сначала с помощью полиномиальной формулы, а затем — через циклические сдвиги и орбиты.

Главная идея курса: комбинаторика — это не набор готовых формул, а набор способов посмотреть на один и тот же объект с разных сторон. Считать напрямую или через дополнение, разбивать на случаи или считать дважды, строить рекурсию или использовать симметрию — именно выбор правильного взгляда чаще всего и составляет суть олимпиадной задачи.

Есть запись	Комбинаторный подсчёт: от правил суммы и произведения до сочетаний Большое, фундаментальное, основополагающее занятие: правила суммы и произведения, перестановки, размещения, сочетания, в том числе с повторениями. Поговорим о подсчёте через дополнение, о разных способах считать одни и те же объекты и о двойном подсчёте. Главная цель — научиться не вспоминать готовую формулу, а понимать, что именно и каким способом нужно вычислять.
12 Окт	Комбинаторика делителей: от разложения на простые множители до функций делителей Посмотрим на привычные задачи теории чисел глазами комбинаторики. Почему формула для числа делителей устроена именно так? Как считать сумму и произведение делителей? Как разложение числа на простые множители превращается в задачу о независимом выборе? Здесь уже начнут появляться прямые мостики к курсу по теории чисел.
19 Окт	Включения и исключения: от подсчёта с ограничениями до функции Эйлера Научимся считать объекты, которые одновременно удовлетворяют нескольким условиям, и разбираться с неизбежными пересечениями. А затем из чисто комбинаторного рассуждения неожиданно снова появится функция Эйлера. То есть формулу, знакомую по курсу теории чисел, мы получим совсем другим способом.
9 Ноя	Бином Ньютона и полиномиальная формула: от треугольника Паскаля до малой теоремы Ферма Биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля, комбинаторные тождества, бином Ньютона и полиномиальная формула. А в финале — ещё один мост к теории чисел: доказательство малой теоремы Ферма с помощью полиномиальной формулы. На курсе по теории чисел мы использовали МТФ как рабочий инструмент. Здесь посмотрим, откуда она может возникнуть с совершенно неожиданной стороны.
16 Ноя	Рекурсии в комбинаторике: от разбиения на случаи до чисел Фибоначчи и Каталана Будем учиться не считать всё сразу, а сводить большую задачу к нескольким меньшим. Замощения, строки, перестановки, последовательности, числа Фибоначчи — и дальше, насколько позволит время, дойдём до чисел Каталана. Это тот самый класс задач, где главное — увидеть правильное рекуррентное соотношение.
23 Ноя	Симметрия в комбинаторике: от циклических сдвигов до формулы Бернсайда Ожерелья, раскраски, циклические сдвиги, группы симметрий, орбиты — и в конце формула Бернсайда. А по дороге мы ещё раз докажем малую теорему Ферма, теперь уже через симметрию и орбиты. Удивительно, что один и тот же арифметический факт возникнет в нашем курсе дважды — из совершенно разных комбинаторных идей!

Олимпиадная динамика: от сил до связей

После Геометрической кинематики хочется сделать следующий естественный шаг — перейти от описания движения к его причинам.

Почему тело движется именно так? Какие силы на него действуют? Когда несколько тел лучше рассматривать по отдельности, а когда — как единую систему? Как понять направление силы трения? Что меняется, если опора сама начинает двигаться? И как устроена динамика движения по окружности?

Этим вопросам как раз и посвящён данный цикл из пяти занятий. Весь курс будет строиться вокруг одной идеи: Динамика — это не набор формул для сил. Это умение увидеть систему, правильно нарисовать взаимодействия, найти связи между движениями и только после этого начинать считать.

Как обычно, теория будет появляться из задач, а не перед задачами.

Есть запись	Законы Ньютона: рисуем силы — находим движение Начнём с самого главного навыка динамики: научимся правильно выделять тело или систему тел, находить все действующие силы и превращать физическую картинку в уравнения движения. Будем много рисовать, обсуждать выбор осей, разбирать типичные ошибки и постепенно переходить от простых задач к олимпиадным системам.
15 Окт	Трение: от покоя до проскальзывания Сила трения — одна из самых коварных сил в школьной механике. Разберёмся, почему равенство F_тр = μN выполняется далеко не всегда; как определить направление силы трения; когда начинается проскальзывание и как находить границу между совместным движением и скольжением. Будут и неподвижные поверхности, и движущиеся ленты, доски, диски и системы из нескольких тел.
22 Окт	Динамика со связями: нити, блоки и ускорения Здесь новый курс напрямую встретится с Геометрической кинематикой. Если раньше постоянство длины нити давало нам связь между скоростями, то теперь оно будет связывать ускорения — а к кинематической связи добавятся законы Ньютона. Нити, неподвижные и подвижные блоки, несколько связанных тел, необычные системы — и один из главных навыков олимпиадной механики: увидеть связь между движениями разных частей системы.
6 Ноя	Доски и клинья: динамика подвижных опор А что произойдёт, если поверхность, по которой движется тело, сама может двигаться? Брусок на доске, тело на подвижном клине, взаимодействие нескольких тел, трение между ними, выбор системы отсчёта — здесь привычные задачи на наклонную плоскость превращаются в гораздо более интересную механику. Будем учиться видеть всю систему целиком и выбирать описание, которое делает задачу проще.
13 Ноя	Криволинейная динамика: от маятника до мёртвой петли В финале перейдём к движению по окружности. Маятник, натяжение нити, реакция опоры, движение по вертикальной окружности, мёртвая петля, условие отрыва и соскальзывание со сферы. Здесь особенно хорошо видно, как законы Ньютона начинают работать вместе с законом сохранения энергии.

Олимпиадная теория чисел: от сравнений до функции Эйлера

Олимпиадная теория чисел начинается с очень простых объектов — целых чисел и остатков от деления, — но быстро приводит к удивительно сильным идеям. В этом курсе мы пройдём путь от линейных сравнений и диофантовых уравнений через китайскую теорему об остатках и степени по модулю к факториалам, формуле Лежандра и функции Эйлера.

Темы курса будут постоянно переплетаться друг с другом. Китайская теорема об остатках позволит собирать число по его остаткам, теорема Эйлера и малая теорема Ферма — работать с огромными степенями, формула Лежандра — видеть простые множители внутри факториалов, а функция Эйлера свяжет делимость, взаимную простоту и арифметику остатков в единую картину.

Главная идея курса: в задачах по теории чисел важно не столько знать много отдельных теорем, сколько уметь выбрать правильный язык. Иногда число удобнее рассматривать по модулю, иногда — разложить на простые множители, иногда — изучать НОД и взаимную простоту, а иногда — перейти от самого числа к системе его остатков. Именно такой выбор точки зрения чаще всего и превращает трудную олимпиадную задачу в понятную.

Все занятия можно посмотреть в записи.

1	Линейные сравнения и линейные диофантовы уравнения Учимся решать сравнения и переводить их на язык диофантовых уравнений.
2	КТО: собираем число из остатков Разбираемся, как из нескольких сравнений собрать одно число и как китайская теорема об остатках работает в олимпиадных задачах.
3	Степени по модулю: от последней цифры до теоремы Эйлера Начнём с циклов последних цифр, а потом доберёмся до больших степеней, малой теоремы Ферма и теоремы Эйлера.
4	Факториалы: от последних нулей до формулы Лежандра Будем считать последние нули, степени простых в факториалах и постепенно придём к формуле Лежандра.
5	Функция Эйлера: от взаимно простых остатков до мультипликативности Приведённые системы вычетов, функция Эйлера и её главное структурное свойство — мультипликативность (да-да, это нужно для перечневых олимпиад — привет, Росатом-2025, 11.3!).

Геометрическая кинематика

Кинематика — это язык, на котором мы описываем движение. В простых задачах достаточно одной координаты и нескольких формул, но в олимпиадной физике быстро появляются движения по плоскости, несколько одновременно движущихся тел, связи между ними и вращение твёрдого тела. В этом курсе мы пройдём путь от графиков и векторного описания движения до кинематических связей и мгновенного центра вращения.

Начнём с графической кинематики и движения, заданного векторами, затем разберём баллистические задачи и относительное движение. После этого перейдём к системам, в которых скорости разных точек связаны между собой нитями и стержнями, а в финале займёмся движением твёрдого тела: поступательным движением, вращением и мгновенным центром скоростей.

Главная идея курса — научиться видеть за движением его геометрию. Скорости складываются как векторы, связи задают геометрические ограничения, а сложное движение твёрдого тела в каждый момент можно свести к простой картине вращения. Именно этот геометрический взгляд позволяет решать многие олимпиадные задачи коротко, наглядно и почти без громоздких вычислений.

Все занятия можно посмотреть в записи.

1	Графическая кинематика Учимся решать кинематические задачи геометрически: через наклоны и площади под графиками, пересечения, касательные и правильную картинку движения.
2	Векторная баллистика Будем смотреть на полёт тела через геометрию векторов скорости и ускорения. Меньше покоординатных вычислений — больше треугольников, векторных построений и красивых коротких решений.
3	Относительное движение: геометрия скоростей Лодки и течения, ветер и дождь, встречи и преследования, минимальные расстояния. Многие такие задачи становятся почти очевидными, если перейти в правильную систему отсчёта и нарисовать векторы скоростей.
4	Кинематика со связями: нити, стержни и закон палочки Что происходит, когда движения разных тел связаны между собой? Нерастяжимые нити, блоки, стержни, направляющие — и знаменитый «закон палочки», который позволяет очень быстро связывать скорости разных точек.
5	Мгновенный центр вращения: геометрия скоростей твёрдого тела Стержни, колёса, диски и другие твёрдые тела. Будем находить скорости их точек через мгновенный центр вращения — зачастую практически без вычислений.

Экстремальные задачи

Два видеокурса по экстремальным задачам, нацеленные на подготовку к соответствующим олимпиадным темам и к нестандартной задаче ДВИ МГУ:

Экстремальная алгебра (видеокурс из четырех занятий)
Экстремальная тригонометрия (видеокурс из двух занятий)

Как проходят вебинары

Цель наших вебинаров — учиться решать сложные задачи. А как этому научиться? Рецепт один: «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!» (Дьёрдь Пойа).

Поэтому на вебинарах мы решаем задачи. Чтобы расширять кругозор, мы нередко рассматриваем одну задачу с разных сторон и обсуждаем различные способы её решения. Главный интерес для нас представляют задачи, которые предлагались в разные годы на олимпиадах и на ДВИ МГУ.

Каждый вебинар посвящён определённой теме. Для вебинара я составляю соответствующую тематическую подборку задач и выкладываю этот файл за несколько дней до начала вебинара.

Вебинары проходят в zoom. Вы видите демонстрацию экрана моего планшета, на котором я пишу стилусом в режиме рельного времени. Пишу в приложении для создания заметок; для каждой задачи заранее подготовлена своя заметка, в начале которой прикреплён скриншот условия задачи. Эти заметки я потом конвертирую в pdf и отдаю вам. Таким образом, после вебинара у вас остаётся не только его видеозапись, но и решения всех задач, записанные мною в ходе трансляции.

Демо-вебинар

Чтобы у вас было изначальное представление о формате, я записал небольшой демо-вебинар. Конкретной темы у него нет; мы разбираем две задачи — одну по математике и одну по физике. Каждую задачу решаем двумя способами!

Задачи демо-вебинара (pdf)
Видеозапись демо-вебинара (mp4)
Решение задачи 1 (заметка, конвертированная в pdf)
Решение задачи 2 (заметка, конвертированная в pdf)

Платформа «Антитренинги»

Образовательная платформа «Антитренинги» обеспечивает мне инфраструктуру для взаимодействия с вами.

После первой оплаты на ваш email придёт ссылка на регистрацию на платформе «Антитренинги» (поэтому будьте внимательны и вводите свой email без ошибок). После регистрации у вас появится личный кабинет на «Антитренингах».

Именно там, в личном кабинете «Антитренингов», будет находиться ссылка на вебинар. А после вебинара там будет размещена его видеозапись и файлы решений задач.

Кроме того, в личном кабинете «Антитренингов» (в уроке «Видеозапись и файлы решений») вы увидите чат, в котором можно будет обсудить задачи, оставшиеся вам для самостоятельного решения — обсудить как с другими участниками, так и со мной.