Материалы по математике: подготовка к олимпиадам и ЕГЭ
Содержание страницы:
Подготовка к олимпиадам: старшие школьники (8–11 классы)
Подготовка к математическим олимпиадам ведётся по специальным листкам. Листок — это небольшой задачник, посвящённый определённой теме. Помимо задач он может содержать и необходимую теорию.
Отличительная особенность данных листков — их нацеленность на подготовку к олимпиадам. Это в первую очередь Всеросс, ММО и Турнир городов, а также олимпиады «Ломоносов», «Покори Воробьёвы горы!», «Физтех», ОММО и «Высшая проба».
Листки содержат задачи самых последних олимпиад, постоянно пополняются новыми задачами и поэтому являются своеобразной следящей системой, автоматически настраивающейся на текущую олимпиадную ситуацию.
Кроме того, в листках много задач вступительных экзаменов в МГУ и МФТИ разных лет. Это не удивительно — ведь олимпиады «Покори Воробьёвы горы!», «Ломоносов» и «Физтех» являются прямыми наследницами прежних вступительных экзаменов.
Для подготовки учеников 7–8 классов к олимпиаде Эйлера и Московской математической олимпиаде написано пособие Олимпиадная математика. Задачник восьмиклассника.
Целые числа
- Десятичная запись
- Сумма цифр числа
- Чётность
- Делимость. Общие свойства
- Признаки делимости
- Простые числа
- Основная теорема арифметики
- НОД и НОК
- Формулы сокращённого умножения
- Остатки и сравнения
- Китайская теорема об остатках
- Делимость. Разное
- Произведения и факториалы
- Уравнения в целых числах
- Неравенства в целых числах
- Задачи с целыми числами
- Number Theory. IMO
Алгебра и анализ
- Рациональные и иррациональные числа
- Целая и дробная части
- Числовые неравенства
- Алгебраические преобразования
- Системы линейных уравнений
- Квадратный трёхчлен
- Многочлены
- Среднее арифметическое и среднее геометрическое
- Доказательство неравенств
- Доказательство неравенств (new)
- Неравенства на олимпиаде «Туймаада»
- Функциональные вычисления
- Функциональные уравнения и неравенства
- Последовательности
- Рекуррентные соотношения
- Суммирование
- Текстовые задачи
- Уравнения и неравенства на ММО и Всероссе
- Исследование функций
- Целочисленная оптимизация
- Интеграл. Геометрия
Алгебраические уравнения и неравенства
- Квадратные уравнения
- Уравнения высших порядков
- Замена переменной
- Системы алгебраических уравнений
- Уравнения с модулем
- Неравенства с модулем
- Иррациональные уравнения и системы
- Иррациональные неравенства
- Комбинированные уравнения и неравенства. 1
- Функции в уравнениях и неравенствах. 1
- Минимаксные задачи. 1
- Плоские множества
Тригонометрия
- Тригонометрические преобразования и вычисления
- Исследование тригонометрических функций
- Обратные тригонометрические функции
- Преобразования тригонометрических уравнений
- Тригонометрические уравнения с модулем
- Тригонометрические уравнения с радикалами
- Системы тригонометрических уравнений
- Минимаксные задачи в тригонометрии
- Тригонометрические неравенства
Логарифмы
- Логарифмические преобразования и вычисления
- Показательные уравнения
- Показательные неравенства
- Логарифмические уравнения
- Логарифмические неравенства
- Комбинированные уравнения и неравенства. 2
- Функции в уравнениях и неравенствах. 2
- Минимаксные задачи. 2
Задачи с параметрами
- Необходимые и достаточные условия
- Что такое параметр?
- Параметры. Линейные уравнения и неравенства
- Параметры и квадратный трёхчлен. 1
- Параметры и квадратный трёхчлен. 2
- Параметры и квадратный трёхчлен. 3
- Параметры. Рациональные уравнения и неравенства
- Параметры. Уравнения высших порядков
- Параметр как переменная
- Область значений функции
- Условный экстремум
- Параметры и тригонометрия
- Минимаксные задачи с параметрами
- Параметры. Необходимые условия
- Симметрия в задачах с параметрами
- Параметры. Свойства функций
- Параметры. Графики
Разное
Планиметрия
- Равенство треугольников
- Сумма углов треугольника
- Медианы, высоты, биссектрисы
- Формула биссектрисы
- Средняя линия треугольника
- Прямоугольный треугольник
- Параллелограмм
- Трапеция
- Конкуррентность
- Неравенство треугольника
- Вписанные и описанные окружности
- Касающиеся окружности
- Треугольник XYZ
- Ортоцентр
- Треугольник с углом 60°
- Треугольник с углом 120°
- Теорема Карно
- Четыре точки на окружности
- Лемма о трезубце
- Окружность девяти точек и прямая Эйлера
- Ориентированные углы
- Прямая Симсона
- Изогональное сопряжение
- Педальный треугольник
- Точка Микеля
- Радикальная ось
- Инверсия
- Симедиана
- Окружность Аполлония
- Задача №255
- Векторы в планиметрии
- Формула расстояния между точками
Стереометрия
- Векторы в стереометрии (вводное пособие)
- Прямые и плоскости
- Сечения
- Развёртки
- Трёхгранные и многогранные углы
- Пирамида
- Достраивание тетраэдра
- Призма
- Параллелепипед
- Куб
- Многогранники
- Сфера и шар
- Вписанная сфера
- Описанная сфера
- Тела вращения
- Комбинации фигур
- Объём и площадь поверхности
- Преобразования пространства
- Векторы
- Геометрические задачи на экстремум
- Неравенства в геометрии
- Проектирование или векторы?
- Большее в меньшем
Геометрия. Олимпиады
- Геометрия на Всероссийской олимпиаде. 8 класс
- Геометрия на Всероссийской олимпиаде. 9 класс
- Геометрия на Всероссийской олимпиаде. 10 класс
- Геометрия на Всероссийской олимпиаде. 11 класс
- Геометрия на ММО. 8 класс
- Геометрия на ММО. 9 класс
- Геометрия на ММО. 10 класс
- Геометрия на ММО. 11 класс
- Планиметрия на олимпиаде ПВГ
- Стереометрия на олимпиаде ПВГ
- Планиметрия на олимпиаде «Ломоносов»
- Стереометрия на олимпиаде «Ломоносов»
- Планиметрия на олимпиаде «Физтех»
- Стереометрия на олимпиаде «Физтех»
- Планиметрия на ОММО
- Стереометрия на ОММО
- Geometry. IMO
Комбинаторика и вероятность
- Перебор вариантов
- Цепочки и множества
- Правила суммы и произведения
- Размещения, перестановки и сочетания
- Комбинаторика на клетчатой бумаге
- Геометрическая комбинаторика
- Вероятность
- Формула включений и исключений
- Подсчёт двумя способами
- Принцип Дирихле
- Рекуррентные соотношения в комбинаторике
- Формула Эйлера и плоские графы
- Биекции
- Теорема Шпернера
Теория графов
- Деревья
- Перечисление графов
- Планарные графы
- Эйлеровы графы
- Экстремальные характеристики графов
- Теорема Турана
- Графы пересечений
- Теория Рамсея
Комбинаторная геометрия
- Системы точек и отрезков
- Разрезания
- Замощения плитками
- Раскраски
- Шахматная раскраска
- Геометрия на клетчатой бумаге
- Целочисленные решётки
Логика
Подготовка к олимпиадам: младшие школьники (5–7 классы)
Две основные олимпиады для младших школьников — это Математический праздник и Турнир Архимеда. Наряду с ними готовимся к олимпиадам «Ломоносов», «Покори Воробьёвы горы!», «Высшая проба», «Курчатов», а также к школьному и муниципальному этапам Всероссийской олимпиады школьников по математике.
Группировка листков по темам во многом следует тематическому каталогу problems.ru (как наиболее удачному с моей точки зрения). Листки содержат:
- все задачи Матпраздника с момента его появления (то есть с 1990 года);
- все задачи Городской устной математической олимпиады для 6–7 классов с момента её появления (с 2002 года);
- все задачи Турнира Архимеда с 2011 года;
- задачи последних олимпиад «Покори Воробьёвы горы!», «Ломоносов», «Высшая проба» «Курчатов» и «Физтех», а также школьных и муниципальных этапов Всероссийской олимпиады школьников.
На базе этих листков создано пособие Олимпиадная математика. Задачник 6–7.
Начало
Арифметика
- Десятичная система счисления
- Арифметические действия
- Ребусы
- Чётность
- Делимость
- Признаки делимости
- Простые числа
- Основная теорема арифметики
- НОД и НОК
- Деление с остатком
- Последняя цифра
- Дроби
Текстовые задачи
Алгоритмы
Алгебра
Комбинаторика
Графы
Играем!
Рассуждения
- Разбиения на пары и группы
- Доказательство от противного
- Логика
- Перебор случаев
- Оценка плюс пример
- Обратный ход
- Принцип крайнего
Наглядная геометрия
Комбинаторная геометрия
- Разрезания
- Раскраски
- Замощения плитками
- Целочисленные решётки
- Геометрия на клетчатой бумаге
- Шахматная раскраска
Планиметрия
Варианты математических олимпиад
Здесь содержатся варианты олимпиад по математике, используемые в повседневной работе. Ведь наилучший способ подготовиться к олимпиаде — это постоянно решать варианты последних лет.
Двузначное число в каждой ссылке означает год проведения финала олимпиады.
Всероссийская олимпиада школьников по математике
| ШЭ | МЭ | РЭ | ЗЭ | |
|---|---|---|---|---|
| 5 класс |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
15, 14 | — | — |
| 6 класс |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
15, 14 | — | — |
| 7 класс |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
— | — |
| 8 класс |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
— | — |
| 9 класс |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
23,
22,
21,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
| 10 класс |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
23,
22,
21,
19,
18 17, 16, 15, 14, 13 |
| 11 класс |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
23,
22,
21,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
Примечания.
- Муниципальный этап для 5 и 6 классов начиная с 2015/16 года не проводится.
- Региональный и заключительный этапы для 5–8 классов не предусмотрены. Вместо них проводится олимпиада им. Леонарда Эйлера (для восьмиклассников).
- Заключительный этап 2020 года не проводился из-за ковида.
Олимпиада им. Леонарда Эйлера
Олимпиада им. Леонарда Эйлера («Всеросс в младшей лиге») проводится с 2008/09 года.
| Регион |
23,
22,
21,
20,
19,
18,
17 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 09 |
| Финал |
23,
22,
21,
20,
19,
18,
17 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 09 |
Математический праздник
| Классический Матпраздник 6 класс |
23,
22,
21,
20 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10 09, 08, 07, 06, 05, 04, 03, 02, 01, 00 99, 98, 97, 96, 95, 94, 93, 92, 91, 90 |
| Классический Матпраздник 7 класс |
23,
22,
21,
20 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10 09, 08, 07, 06, 05, 04, 03, 02, 01, 00 99, 98, 97, 96, 95, 94, 93, 92, 91, 90 |
| Матпраздник в Матвертикали 6 класс |
23, 22, 21, 20 |
| Матпраздник в Матвертикали 7 класс |
23, 22, 21, 20 |
Московская математическая олимпиада
| 8 класс |
23,
22,
21,
20,
19,
18,
17 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 09 |
| 9 класс |
23,
22,
21,
20,
19,
18,
17 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 09 |
| 10 класс |
23,
22,
21,
20,
19,
18,
17 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 09 |
| 11 класс |
23,
22,
21,
20,
19,
18,
17 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 09 |
Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»
Олимпиада «Ломоносов»
| 5–6 классы |
23,
22 21, 20, 19, 18, 17, 16 |
| 7 класс |
23 22, 21, 20, 19, 18, 17 16, 15, 14, 13, 12, 11 |
| 8 класс |
23 22, 21, 20, 19, 18, 17 16, 15, 14, 13, 12, 11 |
| 9 класс |
23 22, 21, 20, 19, 18, 17 16, 15, 14, 13, 12, 11 |
| 10–11 классы |
23.10,
23.11 22.10, 22.11, 21.1, 21.2 20.10, 20.11, 19, 18, 17 16, 15, 14, 13, 12, 11 10, 09, 08, 07, 06, 05 |
Олимпиада «Физтех»
| Онлайн | Финал | |
|---|---|---|
| 5 класс | 18, 17, 16 | — |
| 6 класс | 18, 17, 16 | — |
| 7 класс |
18,
17 16, 15, 14 |
— |
| 8 класс |
23.1,
23.2,
23.3,
23.4 18, 17, 16 15, 14, 13 |
— |
| 9 класс | 23.1,
23.2,
23.3,
23.4 18, 17, 16, 15 14, 13, 12, 11 |
23.1,
23.2 22.1, 22.2; 21 20.1, 20.2; 19.1, 19.2 18.1, 18.2; 17.1, 17.2 16.1, 16.2, 16.3 |
| 10 класс |
23.1,
23.2,
23.3,
23.4 18, 17, 16, 15 14, 13, 12, 11 |
23.1,
23.2 22.1, 22.2; 21 20.1, 20.2; 19.1, 19.2 18.1, 18.2; 17.1, 17.2 16.1, 16.2, 16.3 15.1, 15.2, 15.3 |
| 11 класс |
23.1,
23.2,
23.3,
23.4 18, 17, 16, 15 14, 13, 12, 11 |
23.1,
23.2 22.1, 22.2; 21 20.1, 20.2; 19.1, 19.2 18.1, 18.2; 17.1, 17.2 16.1, 16.2, 16.3 15.1, 15.2, 15.3 14.1, 14.2; 13.1, 13.2 12.1, 12.2; 11.1, 11.2 10.1, 10.2; 09.1, 09.2; 08, 07 |
| Экзамен 1994 — 2008 |
08.1,
08.2,
08.3,
08.4 07.1, 07.2, 07.3, 07.4 06.1, 06.2, 06.3, 06.4 05.1, 05.2, 05.3 04.1, 04.2, 04.3 03.1, 03.2, 03.3 02.1, 02.2, 02.3 01.1, 01.2, 01.3 |
00.1,
00.2 99.1, 99.2 98.1, 98.2 97.1, 97.2, 97.3 96.1, 96.2, 96.3 95.1, 95.2, 95.3 94.1, 94.2, 94.3 |
Примечания.
- Очный финал для 5–8 классов пока не проводится.
- В 2016/17 и 2017/18 годах на онлайн-этапе для 5 и 6 классов давалось задание 7 класса.
- Очный финал для 10 класса впервые прошёл в 2015 году, а для 9 класса — в 2016 году.
Олимпиада «Высшая проба»
| 7 класс |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
| 8 класс |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14, 13 |
| 9 класс |
23,
22,
21,
20,
19,
18 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11 |
| 10 класс |
23,
22,
21,
20,
19,
18 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11 |
| 11 класс |
23,
22,
21,
20,
19,
18 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11 |
Олимпиада «Курчатов»
| 6 класс |
23,
22,
21,
20 19, 18, 17, 16, 15 |
| 7 класс |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
| 8 класс |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
| 9 класс |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
| 10 класс |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
| 11 класс |
23,
22,
21,
20,
19 18, 17, 16, 15, 14 |
ОММО — Объединённая межвузовская математическая олимпиада
| 9–10 классы | 16, 15 |
| 11 класс |
23,
22,
21,
20,
19,
18,
17 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 09 |
Олимпиада «Росатом»
| 7 класс | 23, 22, 21, 20 |
| 8 класс | 23, 22, 21, 20 |
| 9 класс | 23, 22, 21, 20.1, 20.2 |
| 10 класс |
23,
22 21.1, 21.2 20.1, 20.2 |
| 11 класс |
23.1,
23.2,
22.1,
22.2 21.1, 21.2, 21.3, 21.4 20.1, 20.2, 20.3 |
Всесибирская олимпиада
| 7 класс | 23, 22, 21 |
| 8 класс | 23, 22, 21 |
| 9 класс | 23, 22, 21 |
| 10 класс | 23, 22, 21 |
| 11 класс | 23, 22, 21 |
Письменный экзамен мехмата МГУ и ДВИ МГУ
| Мехмат |
10,
09,
08,
07,
06,
05 04-03, 04-07; 03-03, 03-05, 03-07 02-03, 02-05, 02-07; 01-03, 01-05, 01-07 00-03, 00-05, 00-07; 99-03, 99-05, 99-07 98-03, 98-05, 98-07; 97-03, 97-05, 97-07 96-03, 96-05, 96-07; 95-03, 95-05, 95-07 94-05, 94-07, 93-05, 93-07 |
| ДВИ | 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11 |
Турнир Архимеда
| Зимний тур |
23,
22,
21,
20,
19,
18 17, 16, 15, 14, 13, 12 |
Московская городская устная математическая олимпиада для 6–7 классов
| 6 класс |
23,
22,
21,
19,
18,
17,
16,
15,
14,
13 12, 11, 10, 09, 08, 06, 05, 04, 03, 02 |
| 7 класс |
23,
22,
21,
19,
18,
17,
16,
15,
14,
13 12, 11, 10, 09, 08, 06, 05, 04, 03, 02 |
Турнир городов
| ОБ | ОС | ВБ | ВС | |
|---|---|---|---|---|
| 8–9 классы | 17, 16, 15 | 17, 16, 15 | 17, 16, 15 | 17, 16, 15 |
| 10–11 классы | 17, 16, 15 | 17, 16, 15 | 17, 16, 15 | 17, 16, 15 |
Всесоюзная олимпиада школьников по математике
| 11 класс |
92,
91,
89,
88,
87 86, 85, 84, 83 |
Международная олимпиада «Туймаада» по математике
| Старшая лига | 14, 13, 12, 11 |
Задачи ЕГЭ по математике
В данном разделе приведены задачи ЕГЭ по математике (профильный уровень, сложная часть), а также диагностических и тренировочных работ МИОО начиная с 2009 года. Последнее пособие («Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике») содержит авторские решения.
- Тригонометрические уравнения на ЕГЭ по математике
- Стереометрия на ЕГЭ по математике
- Алгебраические уравнения и неравенства на ЕГЭ по математике
- Показательные уравнения и неравенства на ЕГЭ по математике
- Логарифмические уравнения и неравенства на ЕГЭ по математике
- Планиметрия на ЕГЭ по математике
- Экономические задачи на ЕГЭ по математике
- Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике
- Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике
Базовый курс математики
Общий курс математики предназначен для школьников 8–11 классов. Чтение статей не требует предварительных знаний, так что изучение каждой темы можно начинать с нуля. Статьи, однако, рассчитаны на школьника, заинтересованного в глубоком изучении математики; с каждой статьёй нужно работать — вникать в идеи и самостоятельно воспроизводить выкладки.
Планиметрия
- Длины и отношения отрезков
- Углы
- Признаки равенства треугольников
- Геометрическое место точек
- Параллельность. Сумма углов треугольника
- Окружность
- Параллелограмм
- Средняя линия треугольника
- Трапеция
- Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках
- Теорема Пифагора
- Площадь. 1
- Подобие треугольников
- Вписанный четырёхугольник
Тригонометрия
- Углы в тригонометрии
- Тригонометрическая окружность
- Тригонометрические функции. Синус и косинус
- Тригонометрические функции. Тангенс и котангенс
- Тригонометрический круг
- Основное тригонометрическое тождество
- Формулы сложения
- Формулы приведения
- Формулы двойного и половинного угла
- Суммы и произведения тригонометрических функций
- Тригонометрические формулы (резюме)
- Введение в аркфункции
- Уравнения с аркфункциями
- Простейшие тригонометрические уравнения
- Тригонометрические уравнения. 1
- Задача С1 на ЕГЭ по математике
- Тригонометрические уравнения. 2
Алгебра
Уравнения и неравенства
- Метод интервалов → Задачи
- Показательные уравнения и неравенства → Задачи
- Логарифмические уравнения и неравенства → Задачи
- Метод рационализации → Задачи
- Задача С3 на ЕГЭ по математике
Стереометрия
- Пирамида
- Призма
- Взаимное расположение прямых в пространстве
- Угол между скрещивающимися прямыми → Задачи
- Взаимное расположение прямой и плоскости
- Теорема о трёх перпендикулярах
- Угол между прямой и плоскостью → Задачи
- Взаимное расположение плоскостей
- Угол между плоскостями → Задачи
- Расстояние от точки до прямой → Задачи
- Расстояние от точки до плоскости → Задачи
- Расстояние между скрещивающимися прямыми → Задачи
- Метод объёмов
- Задачи на сечения многогранников
- Многогранники в задаче №16 (пособие)
Исследование функций
Разное
Любознательным: